设等边三角形的内切圆半径为外接圆半径为，平面内任意一点到等边三角形中心的距离为若满足则称点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系中，等边的三个顶点的坐标分别为．

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1. (2019·湖南模拟) 设等边三角形的内切圆半径为 $\text{[math]}$ 外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，平面内任意一点 $\text{[math]}$ 到等边三角形中心的距离为 $\text{[math]}$ 若满足 $\text{[math]}$ 则称点 $\text{[math]}$ 叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，等边 $\text{[math]}$ 的三个顶点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ．
1. （1） ①等边 $\text{[math]}$ 中心的坐标为；
  ②已知点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中，是等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点的是；
3. （2）如图1，过点 $\text{[math]}$ 作直线交 $\text{[math]}$ 轴正半轴于 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ．
  
  ①若线段 $\text{[math]}$ 上存在等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  
  ②将直线 $\text{[math]}$ 向下平移得到直线 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，直线 $\text{[math]}$ 上总存在等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点；
5. （3）如图2，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度向右移动，运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 上所有点都是等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有正确的 $\text{[math]}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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