1. (2020·南通模拟) 若实数 满足 ，则称 为函数 的不动点．

1. （1） 求函数 的不动点；
3. （2） 设函数 ，其中 为实数．

   ① 若 时，存在一个实数 ，使得 既是 的不动点，又是 的不动点（ 是函数 的导函数），求实数 的取值范围；

   ② 令 ，若存在实数 ，使 ， ， ， 成各项都为正数的等比数列，求证：函数 存在不动点．