如图，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D．点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）.

1. (2020·永州模拟) 如图，在平面直角坐标系内，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D．点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）.
1. （1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
3. （2）在（1）的条件下，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，过点E作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为N，将线段CN绕点C顺时针旋转90°得到点N，再将点N向上平移 $\text{[math]}$ 个单位长度.得到点P，点G在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H，使点D，P，G，H构成菱形.若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由.

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1. (2020·永州模拟) 如图，在平面直角坐标系内，抛物线 与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D．点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）.