1. (2016·龙岗模拟)

在平面直角坐标系中，已知抛物线y= x²+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

1. （1） 如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

3. （2） 平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．

   （i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

   （ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．