如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M ．连接AM ，分别以点A和点M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G ， H两点，作直线GH ，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P ．根据以上操作，完

1. (2020·德州) 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 $\text{[math]}$ ，在x轴上任取一点M ．连接AM ，分别以点A和点M为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧相交于G ， H两点，作直线GH ，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P ．根据以上操作，完成下列问题．

探究：
1. （1）线段PA与PM的数量关系为，其理由为：．
3. （2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
  
  M的坐标
  
  …
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  …
  
  P的坐标
  
  …
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  …
5. （3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L ，猜想曲线L的形状是．
7. （4）验证：
  设点P的坐标是 $\text{[math]}$ ，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
9. （5）应用：
  如图3，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为曲线L上任意一点，且 $\text{[math]}$ ，求点D的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围．