如图，抛物线（）过点和，点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接， .

1. (2020·抚顺) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）如图①，当 $\text{[math]}$ 时，求点D的坐标；
5. （3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段 $\text{[math]}$ 于点E，点F是线段 $\text{[math]}$ 上的动点（点F不与点O和点B重合，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点B的对应点为点B， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的重叠部分为 $\text{[math]}$ ，在坐标平面内是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由.