1. (2019高一上·南通月考) 已知函数 ， .

1. （1） 证明函数 为奇函数；
3. （2） 判断函数 的单调性（无需证明），并求函数 的值域；
5. （3） 是否存在实数a，使得 的最大值为 ？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.