如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（），过点P作轴，分别交于点M，N.

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1. (2020·沈阳) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的顶点O是坐标原点，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（ $\text{[math]}$ ），过点P作 $\text{[math]}$ 轴，分别交 $\text{[math]}$ 于点M，N.
1. （1）填空： $\text{[math]}$ 的长为， $\text{[math]}$ 的长为
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求点N的坐标：
5. （3）请直接写出 $\text{[math]}$ 的长为（用含t的代数式表示）；
7. （4）点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点（点E不与点 $\text{[math]}$ 重合）， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别表示为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的积）的最大值为.

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