已知数列的前项和和通项满足（是常数，且）.

1. (2020高一下·温江期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 和通项 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，试证明 $\text{[math]}$ ；
5. （3）设函数 $\text{[math]}$ ，是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 都成立？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，说明理由.