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我们知道,1+2+3+…+n= ,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12 , 第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22 , …;第n行n个圆圈中数的和为 ,即n2 , 这样,该三角形数阵中共有 个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2 .
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(1)
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+…+n2)=,因此,12+22+32+…+n2=.
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(2)
根据以上发现,计算:
的结果为
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