如图，是的直径，，为弧的中点，正方形绕点旋转与的两边分别交于、（点、与点、、均不重合），与分别交于、两点.

1. (2020九上·南沙期末) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 的中点，正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转与 $\text{[math]}$ 的两边分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均不重合），与 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）连接 $\text{[math]}$ ，试探究：在正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中， $\text{[math]}$ 的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.