如图，四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面平面，为的中点．

1. (2020高二上·越秀期末) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 是等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试问在线段DE上是否存在点Q，使得直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．