1. (2017·黄石模拟) 如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．

1. （1） 求证：AC=AD+CE；
3. （2） 若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；

   （i）当点P与A、B两点不重合时，求 的值；

   （ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）