1. (2020九上·武城期末) 如图，抛物线y=ax²+bx-3交x轴于A、B两点，交y轴于C点点D为抛物线顶点，连接BD，点P为线段BD上一动点，作PE⊥x轴，垂足为E，连接PC，EC，已知抛物线对称轴为直线x=1，点A坐标为(-1，0)。

1. （1） 求抛物线的解析式；
3. （2） 设△PCE的面积为S，请问在点P的移动过程中S是否存在最大值，若存在，请求出S最大值以及此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；
5. （3） 在线段BD上存在一点Q，使得△CDQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标。