定义：长与宽之比为（为正整数）的矩形称为矩形. 通过下面的操作方式我们可以折出一个矩形，如图①所示. 操作1：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为 . 操作2

当前位置：初中数学 / 综合题

1. (2021九上·碑林期末) 定义：长与宽之比为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）的矩形称为 $\text{[math]}$ 矩形.
通过下面的操作方式我们可以折出一个 $\text{[math]}$ 矩形，如图①所示.

操作1：将正方形 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使折叠后的点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ .

操作2：将 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别落在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，折痕为 $\text{[math]}$ .则四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形.

证明：设正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，则 $\text{[math]}$ .

由折叠性质可知 $\text{[math]}$ .

∵ $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形.

阅读以上内容，回答下列问题：

已知四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，沿用上述操作方式，得到四边形 $\text{[math]}$ ，如图②，
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 矩形.
3. （2）在图②中，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
5. （3）在图②中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，求 $\text{[math]}$ 的值.

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