在中，，，点是边延长线上一动点，过点作，垂足为，交于点 .连结，点是的中点，连结， .

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1. (2021九上·沙坪坝期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 延长线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .连结 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，连结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形；
3. （2）如图2，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，猜想线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明你的猜想结论；
5. （3）如图3，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 延长线上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

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重庆市沙坪坝区2021届九年级上学期数学期末考试试卷