1. (2021·崂山模拟) 问题提出：在平面上，给出n个圆把平面至多分割成多少个区域？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．

1. （1） 探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽量多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了 个区域，所以3条直线至多将平面分成 个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和 条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了 个区域，所以4条直线至多将平面分成 个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和 条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了 个区域，所以5条直线至多将平面分成 个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成个区域；依此类推n 条直线可以将平面至多分成个区域．
3. （2） 探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了 条弧，将平面至多分成了 个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了 条弧，将平面至多分成了 个区域；以此类推5个圆可以将平面分成个区域．

   问题解决：n个圆至多可以将平面分成个区域．

   问题拓展：仿照前面的过程，n个三角形至多可以将平面分成个区域．