已知：如图，矩形中和中，点C在上，，，，连接，点M从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点N从点E出发，沿方向匀速运动，速度为．过点M作交于点H，交于点G．设运动时间为（

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1. (2021·崂山模拟) 已知：如图，矩形 $\text{[math]}$ 中和 $\text{[math]}$ 中，点C在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点M从点D出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时，点N从点E出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ．过点M作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，交 $\text{[math]}$ 于点G．设运动时间 $\text{[math]}$ 为（ $\text{[math]}$ ）．

解答下列问题：
1. （1）当t为何值时， $\text{[math]}$ ？
3. （2）连接 $\text{[math]}$ ，做 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于Q，当四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时，求t的值；
5. （3）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求S与t的函数关系式；
7. （4）点M在运动过程中，是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ ，使点M在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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