如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点，以A为顶点的抛物线过点C，动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段向点D运动，运动时间为t秒，过点P作轴交抛物线于点M，交于点N.

1. (2021·咸宁模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 $\text{[math]}$ 的三个顶点 $\text{[math]}$ ，以A为顶点的抛物线 $\text{[math]}$ 过点C，动点P从点A出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度沿线段 $\text{[math]}$ 向点D运动，运动时间为t秒，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点M，交 $\text{[math]}$ 于点N.
1. （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
3. （2）当t为何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大？最大值为多少？
5. （3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段 $\text{[math]}$ 向点D运动，连接 $\text{[math]}$ .当t为何值时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形？求出所有符合条件的t的值；
7. （4）在（3）的条件下，求当t为何值时，在线段 $\text{[math]}$ 上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？