（阅读）婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边. 证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足

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1. (2021·泗洪模拟) （阅读）婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边.

证明：如图1所示内接于圆的四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 互相垂直，垂足为点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线垂直于 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，由垂直关系得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由同弧所对的圆周角相等得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，同理， $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ；
1. （1）【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为（填“真命题”，“假命题”）；
3. （2）【探究】如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为共顶点的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线垂直于 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .证明：点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点；
5. （3）如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为共顶点的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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