圆柱内有一个三棱柱三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径.

1. (2021·河北模拟) 圆柱 $\text{[math]}$ 内有一个三棱柱 $\text{[math]}$ 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的直径.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
3. （2）设 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示体积.
  （i）当点 $\text{[math]}$ 在圆周上运动时，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
  
  （ii）记平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 取最大值时，求 $\text{[math]}$ 的值.