某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

1. (2021·东河模拟) 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
1. （1）问题发现：如图1，在等边 $\text{[math]}$ 中，点P是边 $\text{[math]}$ 上任意一点（不含端点B和C），连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）变式探究：如图2，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P是边 $\text{[math]}$ 上任意一点（不含端点B和C），连接 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
5. （3）解决问题：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点P是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，Q是正方形 $\text{[math]}$ 的中心，连接 $\text{[math]}$ ．若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为8， $\text{[math]}$ ，求正方形 $\text{[math]}$ 的边长．