已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．

1. (2021高二下·如皋开学考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 实轴端点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为2，过 $\text{[math]}$ 点且斜率1的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线的方程；
3. （2）若过 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，试探究直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．