（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形中，的顶点E，F分别在，上（可与点A，B，C重合），且满足 . 的高线交线段于点G（可与E，F重合），设 .

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1. (2021·福建模拟) （模型构建）如图所示，在边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的顶点E，F分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上（可与点A，B，C重合），且满足 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 的高线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点G（可与E，F重合），设 $\text{[math]}$ .
1. （1）求k的值.
3. （2）判断k的值是否改变.若改变，请求出k的取值范围；若不改变，请证明.
  （深入探究）在（模型构建）的基础上，设 $\text{[math]}$ 的面积为S.
5. （3） ①求S的最小值；
  ②当S取到最小值时，直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系.

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