如图，已知是等边三角形，P是内部的一点，连接BP ， CP ．

1. (2021·包头) 如图，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，P是 $\text{[math]}$ 内部的一点，连接BP ， CP ．
1. （1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q ，交AC于点R ，当点P在 $\text{[math]}$ 上时，连接AP ，在BC边的下方作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接DP ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
3. （2）如图2，E是BC边上一点，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，连接EP并延长，交AC于点F ．若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）如图3，M是AC边上一点，当 $\text{[math]}$ 时，连接MP ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值（用含a的代数式表示）．