如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O.

1. (2020八下·高坪期末) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ 于点G， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O.
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）在（2）的条件下，已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.