教材呈现如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、求证：四边形是菱形分析：要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明请结合图

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1. (2021八下·宛城期末)
1. （1）（教材呈现）如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容：
  如图，已知矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.
  
  分析：要证四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，由已知条件可知 $\text{[math]}$ ，所以只需证明四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，又知 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，所以只需证明 $\text{[math]}$ .
  
  请结合图1，补全证明过程.
3. （2）（应用）如图2，将矩形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 的对称点与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别交矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则折痕 $\text{[math]}$ 的长为.
5. （3）（拓展）如图3，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 的对称点与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积是.

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河南省南阳市宛城区2020-2021学年八年级下学期数学期末考试试卷