1. (2021·邵阳模拟) 从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．

分组

频数

频率

[2.5，7.5)

2

0.002

[7.5，12.5)

m

0.054

[12.5，17.5)

106

0.106

[17.5，22.5)

149

0.149

[22.5，27.5)

352

n

[27.5，32.5)

190

0.190

[32.5，37.5)

100

0.100

[37.5，42.5)

47

0.047

合计

1000

1.000

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求m，n，a的值；
（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数 $\text{[math]}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3） $\text{[math]}$ 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 近似为样本平均数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 近似为样本方差 $\text{[math]}$ ，其中已计算得 $\text{[math]}$ ．如果产品的质量指标值位于区间 $\text{[math]}$ ，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间 $\text{[math]}$ 之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记 $\text{[math]}$ 为抽取的20件产品所获得的总利润，求 $\text{[math]}$ ．

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