类比是研究问题的常用方法，科学史上很多重大发现、发明往往发端于类比。

1. (2021高三上·北京开学考) 类比是研究问题的常用方法，科学史上很多重大发现、发明往往发端于类比。
1. （1）一质量为 $\text{[math]}$ 的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为 $\text{[math]}$ 。将地球视为质量均匀分布的球体，已知地球质量为 $\text{[math]}$ ，万有引力常量为 $\text{[math]}$ ，
  ①求卫星的速度大小 $\text{[math]}$ 和动能 $\text{[math]}$ ；
  
  ②若质量分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的质点相距为 $\text{[math]}$ 时，它们之间的引力势能的表达式为 $\text{[math]}$ ，求卫星与地球组成的系统机械能。
3. （2）在玻尔的氢原子理论中，质量为 $\text{[math]}$ 的电子绕原子核做匀速圆周运动的轨道半径是量子化的，电子的轨道半径和动量必须满足量子化条件 $\text{[math]}$ ，式中 $\text{[math]}$ 是普朗克常量， $\text{[math]}$ 是轨道半径，是电子在该轨道上的速度大小， $\text{[math]}$ 是轨道量子数，可以取1、2、3等正整数。已知电子和氢原子核的电荷量均为 $\text{[math]}$ ，静电力常量为 $\text{[math]}$ ，根据上述量子化条件，类比天体系统证明电子在任意轨道运动时系统能量表达式可以写为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是与 $\text{[math]}$ 无关的常量。