1. (2021高二上·常熟月考) 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 内举行机器人拦截挑战赛，在 处按 方向释放机器人甲，同时在 处按 方向释放机器人乙，设机器人乙在 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点 在矩形区域 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知 米， 为 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 与 的夹角为 （ ）， 与 的夹角为 （ ）．

1. （1） 若两机器人运动方向的夹角为 ， 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
3. （2） 已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的 倍．

   （i）若 ， 足够长，机器人乙挑战成功，求 ．

   （ii）如何设计矩形区域 的宽 的长度，才能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 使机器人乙挑战成功？