如图，在等边中，是直线上一点，是边上一动点，以为边作等边，连接 .（提示：含的直角三角形三边之比为）

1. (2020八上·汉阳期中) 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .（提示：含 $\text{[math]}$ 的直角三角形三边之比为 $\text{[math]}$ ）
1. （1）如图1，若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，请探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
5. （3）图2中，若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 停止，求出此过程中点 $\text{[math]}$ 运动的路径长.