我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：

1. (2021九上·宿迁月考) 我们知道：
$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ，

这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
1. （1）探究：当a取不同的实数时，求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值.
3. （2）应用：如图.已知线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，设 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作正方形 $\text{[math]}$ ，再以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为一组邻边作长方形 $\text{[math]}$ .问：当点M在 $\text{[math]}$ 上运动时，长方形 $\text{[math]}$ 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由.