如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．动点P从点B开始沿BC边以2cm/s的速度运动，动点Q从点A开始沿AD边以lcm/s的速度运动，过点Q作，QM交CD于点M，交BD于点N，点E，F分别是PQ，PM与AC的交

1. (2020九上·黄岛期末) 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线AC，BD交于点O．动点P从点B开始沿BC边以2cm/s的速度运动，动点Q从点A开始沿AD边以lcm/s的速度运动，过点Q作 $\text{[math]}$ ，QM交CD于点M，交BD于点N，点E，F分别是PQ，PM与AC的交点．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，解答下列问题：
1. （1）当t为何值时， $\text{[math]}$ ？
3. （2）设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，写出S与t的关系式；
5. （3）是否存在某一时刻，使AC将 $\text{[math]}$ 分成 $\text{[math]}$ 和四边形EFMQ面积比为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
7. （4）是否存在某一时刻t，使NP平分 $\text{[math]}$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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