龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线

1. (2022高三上·东莞期末) 龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图3）是以 $\text{[math]}$ 为斜边画出等腰直角三角形的直角边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所得的折线图，图4、图5依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为第一代龙曲线的顶点，设第 $\text{[math]}$ 代龙曲线的顶点数为 $\text{[math]}$ ，由图可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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