在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点为，，其离心率为.A为椭圆的左顶点，P为椭圆上的动点（不与椭圆的左右顶点重合）.已知的面积的最大值为.

1. (2021高二上·湖南月考) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其离心率为 $\text{[math]}$ .A为椭圆的左顶点，P为椭圆上的动点（不与椭圆的左右顶点重合）.已知 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的方程；
3. （2）如图，N为 $\text{[math]}$ 的中点，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点D，直线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点H.
  （i）求 $\text{[math]}$ ；
  （ii）证明： $\text{[math]}$ .