对于正实数a，b（），我们熟知基本不等式：，其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数.现定义a，b的对数平均数：.

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1. (2022·湖南模拟) 对于正实数a，b（ $\text{[math]}$ ），我们熟知基本不等式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为a，b的几何平均数， $\text{[math]}$ 为a，b的算术平均数.现定义a，b的对数平均数： $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ，并证明 $\text{[math]}$ ；
3. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意正实数a，b（ $\text{[math]}$ ）恒成立，求正实数m的取值范围.

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