如图，已知中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是N，设运动时间为，解答下列问题：

1. (2022·兖州模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；点Q从点C出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ，连接并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点M，过M作 $\text{[math]}$ ，垂足是N，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：
1. （1）求线段 $\text{[math]}$ 的长（用t的代数式表示）；
3. （2）是否存在时刻t，使 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ？若存在求出相应的t值，若不存在，说明理由；
5. （3）设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求S与t之间的函数关系式：是否存在某一时刻t，使四边形 $\text{[math]}$ 的面积S等于 $\text{[math]}$ 面积的一半，若存在求出相应的t值，若不存在，说明理由；
7. （4）是否存在某一时刻t，使点A在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上，若存在求出相应的t值，若不存在，说明理由．