已知正项数列，的前项和分别为，且在平面直角坐标系中点到，的距离差为2.证明：

1. (2022·湖北模拟) 已知正项数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ，且在平面直角坐标系中点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离差为2.证明：
1. （1）对于任意 $\text{[math]}$ ，均存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .
3. （2）若有整数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，则存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .