1. (2022·槐荫模拟) 如图1，正方形ABCD与正方形AEGF有公共顶点A，点B，D分别在边AE和AF上，连接BF，DE，M是DE的中点，连接AM交BF于点N．

1. （1） 【观察猜想】

   线段BF与AM之间的数量关系是，位置关系是；

3. （2） 【问题呈现】

   将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转至图2的位置，AM所在直线交DE于点N，其他条件不变，请尝试探究线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？

   【探究思路】

   延长AM至点H，使 ， 连接BH，可证明 ， 从而将线段DE转化为线段AH，进而探究所需结论．

   【问题解决】

   ①请在图2中按要求作出辅助线，并写出的证明过程；

   ②线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

5. （3） 若 ， 将图1中的正方形AEGF绕点A旋转一周，BN是否存在最小值？若存在请求出最小值，若不存在请说明理由．