两个完全相同的直角三角板按如图1所示方式放置，，直角顶点和重合，，连接，．

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1. (2022·清苑模拟) 两个完全相同的直角三角板按如图1所示方式放置， $\text{[math]}$ ，直角顶点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）论证：求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）探索：如图2， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为两个三角板斜边上的两动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最小时，求 $\text{[math]}$ 的长．
5. （3）拓展：将两个三角板按图3所示方式放置，直角顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，两三角板的直角边分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求 $\text{[math]}$ 的长．

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