某校数学活动小组探究了如下数学问题：

1. (2022八下·莱芜期末) 某校数学活动小组探究了如下数学问题：
1. （1）问题发现：如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是；
3. （2）变式探究：如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰 $\text{[math]}$ ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
5. （3）问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求正方形ABCD的边长．

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1. (2022八下·莱芜期末) 某校数学活动小组探究了如下数学问题：