已知：如图1：在中，，，，在下方作于点D，，动点E从点A开始沿边以的速度运动，动点F从点C开始沿边以的速度运动．点E和点F同时出发，当点E到达点C时，点F也随之停止运动．设动点E的运动时间为，解答下列问题：

1. (2022八下·浑南期末) 已知：如图1：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 下方作 $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ ，动点E从点A开始沿 $\text{[math]}$ 边以 $\text{[math]}$ 的速度运动，动点F从点C开始沿 $\text{[math]}$ 边以 $\text{[math]}$ 的速度运动．点E和点F同时出发，当点E到达点C时，点F也随之停止运动．设动点E的运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：
1. （1）连接 $\text{[math]}$ ，当t为何值时，点C在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上；
3. （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
5. （3）在（2）的条件下，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

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