如图所示，已知是半径为，中心角为的扇形，为弧上一动点，四边形是矩形，．

1. (2022高二上·长沙月考) 如图所示，已知 $\text{[math]}$ 是半径为 $\text{[math]}$ ，中心角为 $\text{[math]}$ 的扇形， $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 上一动点，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求矩形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 的最大值及取得最大值时的 $\text{[math]}$ 值；
3. （2）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其面积 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．