1. (2022高三上·海淀期中) 开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，分别于1609年和1619年发表了下列定律：

开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即 ， k是一个对所有行里都相同的常量。

1. （1） 在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为r的圆轨道。

   a．如图所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小v，并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：扇形面积=×半径×弧长）

   b．请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比。

3. （2） 牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒定律。已知太阳质量为M_S、行星质量为M_P、太阳和行星间距离为L、引力常量为G，不考虑其它天体的影响。

   a．通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量k的表达式；

   b．实际上太阳并非保持静止不动，如图所示，太阳和行星绕二者连线上的O点做周期均为T₀的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为。请推导k′的表达式（用M_S、M_P、L、G和其它常数表示），并说明k′≈k需满足的条件。