已知椭圆过点，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．

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1. (2022高二上·武汉期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的方程；
3. （2）若矩形 $\text{[math]}$ 满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由．

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湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷