如图，在菱形中，，对角线．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿匀速运动；动点Q同时从点D出发，以2cm/s的速度沿的延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为，过点P作，交于点E，以为

1. (2022九上·即墨期末) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿 $\text{[math]}$ 匀速运动；动点Q同时从点D出发，以2cm/s的速度沿 $\text{[math]}$ 的延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ ，过点P作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E，以 $\text{[math]}$ 为边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当t为何值时，E为 $\text{[math]}$ 的中点？
3. （2）当t为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形？
5. （3）设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求S与t之间的函数关系式；
7. （4）是否存在某一时刻t，使点F在 $\text{[math]}$ 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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