有一张面积为的矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为，为圆柱的一条母线（与，不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外接球的表面积为.

1. (2022高三上·盐城月考) 有一张面积为 $\text{[math]}$ 的矩形纸片 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将矩形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 旋转得到圆柱 $\text{[math]}$ ，如图所示，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，直线 $\text{[math]}$ 与底面圆 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆柱的一条母线（与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），则当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积取最大值时，三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为.

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