如图，在平面直角坐标系中，，轴，，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D在x轴的正半轴上．若的对应线段恰好经过点O．

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1. (2022九上·代县期末) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ 经过点B，将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D在x轴的正半轴上．若 $\text{[math]}$ 的对应线段 $\text{[math]}$ 恰好经过点O．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的解析式．
3. （2）小彬通过观察图形得出一个结论：点C在双曲线 $\text{[math]}$ 上．请你证明这个结论的正确性．

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