在平面直角坐标系中，过点的直线与曲线：的左支交于，两点，直线与双曲线的右支交于点.已知双曲线的离心率为，当直线与轴垂直时，.

1. (2023高三上·泰州期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左支交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的右支交于点 $\text{[math]}$ .已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴垂直时， $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
3. （2）证明：直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相切.