如图，已知P是圆上的动点，过作直线BP的垂线，垂足为B，交AP于Q，设线段PQ中点M的轨迹为曲线E.

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1. (2023高二上·三明期末) 如图，已知P是圆 $\text{[math]}$ 上的动点，过 $\text{[math]}$ 作直线BP的垂线，垂足为B，交AP于Q，设线段PQ中点M的轨迹为曲线E.
1. （1）求E的方程；
3. （2）设E与x轴交于C，D，过点M且斜率为1的直线与E的另一个交点为N，与x轴的交点为G.判断：当M在E上运动时，是否存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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